Як знайти об'єм куба: варіанти завдань та їх вирішення
Сучасні технології створюють дивовижні комп'ютерні програми. Вони дозволяють побачити тіла в обсязі та покриття їх в різних напрямках, щоб трохи краще розглянути. Уява людини не завжди на це здатне. Мало хто може чітко уявити предмет і побачити його як би наскрізь. Але таке вміння можна спробувати сформувати при вирішенні завдань з геометрії. Наприклад, тих з них, в яких йдеться про те, як знайти об'єм куба. Це відмінна практика для розвитку просторової уяви.
Куб або паралелепіпед?
Це непорожній питання. Тому що класифікація важлива. Адже куб - це особлива форма прямокутного паралелепіпеда.
Останній являє собою фігуру, в якій 6 граней, і всі вони прямокутники. Кути, під якими перетинаються всі ребра, 90ordm-. Відповідно, якщо ці грані стануть квадратами, то і вся фігура перетвориться в куб.
У прямокутного паралелепіпеда всі лінійні розміри, тобто висота, довжина і ширина, можуть істотно відрізнятися. У кубі ж вони завжди дорівнюють один одному. Це його відмітна ознака. Тому в задачах, які вимагають знайти об'єм куба, розглянутий момент неодмінно враховується. До речі, він істотно спрощує всі математичні записи і обчислення.
Умовні позначення у формулах і задачах
Без цього пункту буде складно зрозуміти, як записані формули. Що мається на увазі під кожною буквою і символом, підкаже наступна таблиця.
| Символ | Назва елемента |
| а | ребро фігури |
| д | діагональ грані |
| Д | діагональ куба |
| загальноприйняті в геометрії символи | площа |
| обсяг |
Як знайти елементи куба по його боці?
Оскільки грань фігури - це квадрат, то її площа визначиться за формулою №1, в якій відому величину потрібно звести в квадрат:
А діагональ будь-якої грані обчислюється за формулою №2, в якій сторона множиться на корінь з 2:
Попередня формула виходить з теореми Піфагора. Це легко зрозуміти, якщо побачити, що діагональ грані - це гіпотенуза прямокутного трикутника. А катетами його стають боку квадрата.
Щоб визначити діагональ куба, потрібна буде наступна формула №3, що містить відому сторону і квадратний корінь з 3:
Вона теж виходить з теореми Піфагора. Тільки в якості гіпотенузи виступає шукана діагональ. Катетами ж стають сторона квадрата і його діагональ.
Іноді потрібно знати формулу для обчислення площі бічної поверхні цієї фігури. У ній квадрат сторони множиться на 4. Ось вона (№4):
Зрозуміти, як виходить ця формула, нескладно. Бічних граней - 4. А це означає, що їх загальна площа - учетверенное значення площі одного квадрата.
Якщо потрібно визначити площа всієї поверхні, то використовують цю запис, в якому ушестеряется квадрат ребра (формула №5):
Вона виходить аналогічно попередньої формулі, тільки число квадратів збільшилася до 6.
Що таке обсяг?
Якщо говорити просто, то це місце, яке займає будь-яке тіло в просторі. Будь-який предмет обмежений у просторі поверхнями. Їх може бути декілька, але можливі випадки, коли тільки одна. Наприклад, якщо тіло - це куля. Але ці поверхні обов'язково замкнуті. Простір, який займає геометричне тіло, і буде його місткістю, або об'ємом.
Одиниці виміру обсягу
Коли мова йде про тверді тіла, то одиницями обсягу завжди будуть кубічні величини. Приміром, метр, сантиметр або кілометр в кубі. Для рідин прийняті літри, які виражаються через кубічні дециметри. Але якщо вони займають дуже великі обсяги, то їх вимірюють також в кубічних метрах. Наприклад, при обліку витрати води в квартирі її вважають в м3. Так виходить зручніше і простіше в числовому вираженні.
Спосіб 1: дізнатися обсяг куба, якщо відома сторона
Це найпростіший з методів, який підкаже, як знайти об'єм куба. Він полягає в тому, щоб просто звести значення сторони в третю ступінь. Іншими словами, потрібно помножити сторону на себе три рази. За аналогією з довільним прямокутним параллелепипедом, коли потрібно було множити всі його лінійні розміри. Формула буде записана так (№6):
Спосіб 2: відома площа всієї поверхні
У цьому випадку потрібно буде розділити відому величину на 6. З проміжного відповіді витягти квадратний корінь і звести число в куб. Якщо записати це формулою, то вийде наступне (№7):
Спосіб 3: дана діагональ грані куба
Для того щоб дізнатися, як обчислити об'єм куба, в цьому випадку потрібно виконати наступні дії. Спочатку звести відоме значення в куб, а потім помножити його на квадратний корінь з 2 і розділити на 4. Формула для цього завдання (№8):
Це рівняння виходить таким чином: відому діагональ потрібно розділити на корінь з двох. Потім число звести в третю ступінь. Після виконання перетворень виходить в чисельнику куб діагоналі, а в знаменнику 2radic-2. Математика вимагає, щоб під рискою не було ірраціонального числа. Тому від нього позбавляються шляхом множення на radic-2. Тоді в чисельнику з'являється radic-2, а в знаменнику виходить 4.
Спосіб 4: по діагоналі куба
Формула, яка підкаже, як знайти об'єм куба, міститиме дії: зведення в квадрат діагоналі, множення її на корінь з 3 і розподіл усього на 9. Вона буде записана так (№9):
Аналогічно попередній формулі, в цьому записі спочатку діагональ ділиться на корінь з трьох і зводиться в куб. Після перетворень в знаменнику також з'являється ірраціональність, від якої потрібно йти. Так, у чисельнику виникає величина radic-3, а під рискою - 9.
Приклади завдань
Завдання перше. Дан куб з ребром 12 см. Обчислити його обсяг і висловити відповідь в квадратних метрах.
У цьому завданні буде складніше перевести відповідь в інші одиниці, ніж вирішити, як знайти об'єм куба. Для виконання першої частини завдання буде потрібно формула, записана під номером 6. Після зведення в куб числа 12 вийде відповідь 1728 см3. Тепер потрібно згадати, як перевести їх в кубічні метри. Для цієї мети відповідь потрібно розділити на 100 три рази. Сотня з'явилася з того факту, що в одному метрі саме сто сантиметрів. А поділ виконується тричі, тому що одиниці в завданні кубічні. Отже, 1728 розділене на 100 дасть 17,28. Після другого поділу вийде 0,1728. Третя дія дасть відповідь 0,001728 м3. Це і є відповідь завдання: обсяг куба дорівнює 0,001728 м3 .
Завдання друге. Мається куб з площею всій його поверхні, рівної 600 дм2. Знайти об'єм фігури і виразити його в кубічних метрах.
Для відповіді на питання цього завдання буде потрібна формула номер 7. Першою дією відоме число ділиться на 6. У відповіді виходить 100. З нього легко витягти квадратний корінь, він буде дорівнює 10. Тепер десятку потрібно звести в куб. Так виходить, що шукана величина дорівнює 1000 дм3. Залишилося перевести його в м3. Як і в попередній задачі, ділення буде виконуватися три рази, тільки дільником буде 10. Тому що в одному метрі десять дециметрів. Після поділу виходить відповідь рівний 1 м3. Відповідь: обсяг дорівнює 1 м3.
Завдання третього. Дан куб з довжиною діагоналі його грані, рівної radic-2 мм. Потрібно обчислити об'єм.
Восьма формула допоможе в тому, як знайти відповідь у цій задачі. Насамперед потрібно звести в куб відому величину. Квадратний корінь з 2 в третього ступеня дасть значення 2radic-2. Після множення на radic-2 вийде число 4. Останньою дією потрібно його розділити на 4. Відповідь: обсяг куба 1 мм3.
Завдання четверта. Відомо, що діагональ куба дорівнює 3 м. Потрібно обчислити його обсяг.
Буде просто знайти відповідь на це завдання по формулі під номером 9. Величину, яка дана в умови, потрібно звести в куб. Вийде 27. Після його поділу на 9 відповідь стане дорівнює 3. І останньою дією його потрібно помножити на квадратний корінь з 3. Відповіддю завдання буде 3radic-3 м3.
