Як знайти площу ромба? Можливі шляхи для пошуку відповіді

Математика - шкільний предмет, який вивчається усіма, незалежно від профілю класу. Однак вона не всіма улюблена. Часом незаслужено. Ця наука постійно підкидає учням завдання, які дозволяють їх мозку розвиватися. Математика відмінно справляється з тим, щоб не дати розумовим можливостям дітей згаснути. Особливо добре з цим справляється один з її розділів - геометрія.

Будь-яка з тем, які в ній вивчаються, варта уваги і поваги. Геометрія - це спосіб розвинути просторову уяву. Прикладом може служити тема про площі фігур, зокрема ромбів. Ці завдання можуть завести в глухий кут, якщо не розібратися в деталях. Тому що можливі різні підходи до пошуку відповіді. Комусь простіше запам'ятати різні варіанти формул, які написані нижче, а хтось здатний сам їх отримати з раніше засвоєного матеріалу. У будь-якому випадку безвихідних ситуацій не буває. Якщо трохи подумати, то рішення обов'язково знайдеться.

як знайти площу ромба

Що таке ромб і чим він схожий на інші чотирикутники?

Відповісти на це питання потрібно, щоб зрозуміти принципи одержання формул і хід міркування в задачах. Адже щоб розібратися в тому, як знайти площу ромба, потрібно чітко розуміти, що це за фігура і які її властивості.

Для зручності розгляду паралелограм, який є чотирикутником з попарно паралельними сторонами, приймемо за "батька". У нього є двоє "дітей": прямокутник і ромб. Обидва вони є паралелограма. Якщо продовжувати паралелі, то це - "прізвище". Значить, для того щоб знайти площу ромба, можна скористатися вже вивченої формулою для паралелограма.

креслення ромба

Але, як і всі діти, ромб має і щось своє. Це трохи відрізняє його від "батька" і дозволяє розглядати як окрему фігуру. Адже прямокутник НЕ ромб. Повертаючись до паралелей - вони як брат і сестра. У них багато спільного, але вони все-таки різняться. Ці відмінності - їх особливі властивості, якими потрібно користуватися. Було б дивно знати про них і не застосовувати у вирішенні завдань.

Якщо продовжити аналогії і згадати ще одну фігуру - квадрат, то вона буде продовженням ромба і прямокутника. У цій фігурі об'єднані всі властивості і одного, й іншого.

знайти площу ромба

Властивості ромба

Їх п'ять і вони перераховані нижче. Причому деякі з них повторюють властивості паралелограма, а якісь притаманні тільки розглянутої фігурі.

  • Ромб - це паралелограм, який прийняв особливу форму. З цього випливає, що його сторони є попарно паралельними і рівними. Причому рівні вони непросто попарно, а все. Як це було б у квадрата.
  • Діагоналі цього чотирикутника перетинаються під кутом, який дорівнює 90ordm-. Це зручно і багато в чому спрощує хід міркувань при вирішенні завдань.
  • Інша властивість діагоналей: кожна з них ділиться точкою перетину на рівні відрізки.
  • Лежать один навпроти одного кути у цієї фігури рівні.
  • І остання властивість: діагоналі ромба збігаються з биссектрисами кутів.

площа ромба через діагоналі

Позначення, які прийняті в розглянутих формулах

У математиці покладається вирішувати завдання з використанням загальних буквених виразів, які називаються формулами. Тема про площі не є винятком.

Для того щоб перейти до записів, які розкажуть, як знайти площу ромба, потрібно домовитися про літери, якими замінені всі числові значення елементів фігури.

Таблиця позначення елементів ромба

Назва елемента

Позначення

сторона ромба

а

велика діагональ

Д1




маленька діагональ

Д2

висота ромба

Н

гострий кут

А

тупий кут

В

радіус вписаного в ромб кола

загальноприйняті в математиці позначення

площа фігури

Тепер прийшла пора написання формул.

Серед даних завдання - тільки діагоналі ромба

Правило стверджує, що для знаходження невідомої величини потрібно перемножити довжини діагоналей, а потім твір розділити навпіл. Результат ділення - це і є площа ромба через діагоналі.

Формула для цього випадку буде виглядати так:

перша формула

Нехай ця формула буде йти під номером 1.

У задачі дано сторона ромба і його висота

Щоб обчислити площу, потрібно знайти добуток цих двох величин. Мабуть, це найпростіша формула. Причому вона відома ще з теми про площу паралелограма. Там така формула вже вивчалася.

Математична запис:

друга формула

Номер цієї формули - 2.

Відомі сторона і гострий кут



У цьому випадку потрібно звести в квадрат величину боку ромба. Потім знайти синус кута. І третім дією обчислити добуток двох утворилися величин. Відповіддю буде площа ромба.

Літерне вираз:

третя формула

Його порядковий номер - 3.

Дані величини: радіус вписаного кола і гострий кут

Для обчислення площі ромба потрібно знайти квадрат радіусу і помножити його на 4. Визначити значення синуса кута. Потім розділити твір на другу величину.

Формула приймає такий вигляд:

четверта формула

Вона буде пронумерована цифрою 4.

У задачі фігурують сторона і радіус вписаного кола

Щоб визначити, як знайти площу ромба, буде потрібно обчислити добуток даних величин і числа 2.

Формула для цього завдання буде виглядати так:

п'ята формула

Її номер по порядку - 5.

Приклади можливих завдань

Завдання 1

Одна з діагоналей ромба дорівнює 8, а інша - 14 см. Потрібно знайти площу фігури і довжину її боку.

рішення задач з геометрії

Рішення

Для знаходження першої величини буде потрібно формула 1, в якій Д1 = 8, Д2 = 14. Тоді площа обчислюється так: (8 * 14) / 2 = 56 (см2).

Діагоналі ділять ромб на 4 трикутника. Кожен з них обов'язково буде прямокутним. Цим треба скористатися, щоб визначити значення другої невідомою. Сторона ромба стане гипотенузой трикутника, а катетами будуть половини діагоналей.

Тоді а2 = (Д1 / 2)2 + 2 / 2) 2. Після підстановки всіх значень виходить: а2 = (8/2)2 + (14/2)2 = 16 + 49 = 65. Але це квадрат сторони. Значить, потрібно витягти квадратний корінь з 65. Тоді довжина сторони буде приблизно дорівнює 8,06 см.



Відповідь: площа 56 см2, а сторона 8,06 см.

Завдання 2

Сторона ромба має значення, рівне 5,5 дм, а його висота - 3,5 дм. Знайти площу фігури.

Рішення

Для того щоб знайти відповідь потрібна буде формула 2. У ній а = 5,5, Н = 3,5. Тоді, замінивши у формулі букви на числа, отримаємо, що шукана величина дорівнює 5,5 * 3,5 = 19,25 (дм2).

Відповідь: площа ромба дорівнює 19,25 дм2.

Завдання 3

Гострий кут у деякої ромба дорівнює 60ordm-, а його менша діагональ - 12 см. Потрібно обчислити його площу.

Рішення

Щоб отримати результат, потрібна буде формула під номером 3. У ній замість А буде 60, а значення а невідомо.

ромб

Для знаходження сторони ромба буде потрібно пригадати теорему синусів. У прямокутному трикутнику а буде гіпотенузою, менший катет дорівнює половині діагоналі, а кут ділиться навпіл (відомо з властивості, де згадується бісектриса).

Тоді сторона а буде дорівнює добутку катета на синус кута.

Катет потрібно обчислити як Д / 2 = 12/2 = 6 (см). Синус (А / 2) дорівнюватиме його значенню для кута 30ordm-, тобто 1/2.

Виконавши нескладні обчислення, отримаємо таке значення сторони ромба: а = 3 (см).

Тепер площа - це твір 32 і синуса 60ordm-, тобто 9 * (radic-3) / 2 = (9radic-3) / 2 (див2).

Відповідь: шукана величина дорівнює (9radic-3) / 2 см2.

Підсумки: все можливо

Тут були розглянуті деякі варіанти того, як знайти площу ромба. Якщо в задачі безпосередньо незрозуміло, яку формулу використовувати, то потрібно трохи подумати і спробувати пов'язати раніше вивчені теми. В інших темах обов'язково знайдеться підказка, яка допоможе зв'язати відомі величини з тими, що є в формулах. І завдання вирішиться. Головне - пам'ятати, що всі раніше вивчене можна і потрібно використовувати.

Крім запропонованих завдань, можливі і зворотні задачі, коли за площею фігури потрібно обчислити значення якого-небудь елементу ромба. Тоді потрібно скористатися тим рівнянням, яке найближче до умові. А потім перетворити формулу, залишивши в лівій частині рівності невідому величину.



Оцініть, будь ласка статтю
Всього голосів: 31

Увага, тільки СЬОГОДНІ!