Як знайти квадратний корінь? Властивості, приклади добування кореня

Математика зародилася тоді, коли людина усвідомила себе і став позиціонуватися як автономна одиниця світу. Бажання виміряти, порівняти, порахувати те, що тебе оточує, - ось що лежало в основі однієї з фундаментальних наук наших днів. Спочатку це були частинки елементарної математики, що дозволили пов'язати числа з їх фізичними виразами, пізніше висновки стали викладатися лише теоретично (в силу своєї абстрактності), ну а через деякий час, як висловився один вчений, "математика досягла стелі складності, коли з неї зникли всі числа ". Поняття "квадратний корінь" з'явилося ще в той час, коли його можна було без проблем підкріпити емпіричними даними, виходячи за площину обчислень.

З чого все починалося

Перша згадка кореня, який на даний момент позначається як radic-, було зафіксовано в працях вавилонських математиків, що поклали початок сучасної арифметики. Звичайно, на нинішню форму вони походили мало - вчені тих років спочатку користувалися громіздкими табличками. Але в другому тисячолітті до н. е. ними була виведена наближена формула обчислень, яка показувала, як витягти квадратний корінь. На фото нижче зображений камінь, на якому вавилонські вчені висікли процес виведення radic-2, причому він виявився настільки вірним, що розбіжність у відповіді знайшли лише в десятому знаку після коми. квадратний корінь

Крім цього, корінь застосовувався, якщо потрібно було знайти сторону трикутника, за умови, що дві інші відомі. Ну і при вирішенні квадратних рівнянь від витягання кореня нікуди не дітися.

Нарівні з вавілонськими роботами об'єкт статті вивчався і в китайській роботі "Математика в дев'яти книгах", а стародавні греки дійшли висновку, що будь-яке число, з якого не витягується корінь без залишку, дає ірраціональний результат.

Походження даного терміну пов'язують з арабським поданням числа: стародавні вчені вважали, що квадрат довільного числа виростає з кореня, подібно рослині. На латині це слово звучить як radix (можна простежити закономірність - все, що має під собою "кореневу" смислове навантаження, співзвучно, будь то редис або радикуліт).

Вчені наступних поколінь підхопили цю думку, позначаючи його як Rx. Наприклад, в XV столітті, щоб вказати, що витягується корінь квадратний з довільного числа a, писали R²a. Звична сучасному погляду "галочка" radic- з'явилася лише в XVII столітті завдяки Рене Декарту.

Наші дні

З точки зору математики, квадратний корінь з числа y - це таке число z, квадрат якого дорівнює y. Іншими словами, z²= Y рівносильно radic-y = z. Однак дане визначення актуально лише для арифметичного кореня, так як воно має на увазі невід'ємне значення виразу. Іншими словами, radic-y = z, де z більше або дорівнює 0. корінь квадратний

У загальному випадку, що діє для визначення алгебраїчного кореня, значення виразу може бути як позитивним, так і негативним. Таким чином, в силу того, що z²= Y і (-z)²= Y, маємо: radic-y = ± z або radic-y = | z |.

Завдяки тому, що любов до математики з розвитком науки лише зросла, існують різноманітні прояви прихильності до неї, не виражені в сухих обчисленнях. Наприклад, нарівні з такими цікавинками явищами, як день числа Пі, відзначаються і свята кореня квадратного. Відзначаються вони дев'ять раз на сто років, і визначаються за наступним принципом: числа, які позначають по порядку день і місяць, повинна бути коренем квадратним з року. Так, наступного разу доведеться відзначати це свято 4 квітня 2016.

Властивості квадратного кореня на поле R

Квадратний корінь з добутку дорівнює добутку квадратних коренів, за умови, що подкоренное вираження більше або рівні 0.
При зведенні кореня квадратного в ступінь достатньо звести в цей ступінь подкоренное вираз, за умови, що воно більше нуля.
Квадратний корінь з дробу дорівнює кореню з чисельника, поділеному на корінь з знаменника, за умови, що подкоренное вираз чисельника більше або дорівнює 0, а подкоренное вираз знаменника строго більше 0.
Подкоренное вираз, якщо воно більше нуля, можна розбити на кілька частин, з яких, у свою чергу, допустимо витягти корінь. Наприклад: radic-75 = radic-25 * 3 = 5radic-3.
Під знак кореня можна вводити будь-яке число, при цьому звівши його в квадрат. Наприклад: 5radic-8 = radic-25 * radic-8 = radic-200.

Практично всі математичні вирази мають під собою геометричну основу, не минула ця доля і radic-y, який визначається як сторона квадрата з площею y.

Як знайти корінь числа?

Алгоритмів обчислення існує декілька. Найбільш простим, але при цьому досить громіздким, є звичайний арифметичний підрахунок, який полягає в наступному:

1) з числа, корінь якого нам потрібен, по черзі віднімаються непарні числа - до тих пір, поки залишок на виході не вийде менше від'ємника або взагалі дорівнюватиме нулю. Кількість ходів і стане в підсумку шуканим числом. Наприклад, обчислення квадратного кореня з 25:

25-1 = 24

24-3 = 21

21-5 = 17

17-7 = 10

10-9 = 1

Наступне непарне число - це 11, залишок у нас наступний: 1lt; 11. Кількість ходів - 5, так що корінь з 25 дорівнює 5. Начебто все легко і просто, але уявіть, що доведеться обчислювати з 18769? обчислення квадратного кореня Для таких випадків існує розкладання в ряд Тейлора:

radic- (1 + y) = sum - ((- 1)ⁿ(2n)! / (1-2n) (n!)²(4ⁿ)) Yⁿ, де n приймає значення від 0 до

+infin-, а | y | le-1.

Графічне зображення функції z = radic-y

Розглянемо елементарну функцію z = radic-y на поле дійсних чисел R, де y більше або дорівнює нулю. Графік її виглядає наступним чином: обчислення квадратного кореня

Крива зростає з початку координат і обов'язково перетинає точку (1- 1).

Властивості функції z = radic-y на поле дійсних чисел R

1. Область визначення розглянутої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль включений).

2. Область значень аналізованої функції - проміжок від нуля до плюс нескінченності (нуль знову ж включений).

3. Мінімальне значення (0) функція приймає лише в точці (0- 0). Максимальне значення відсутній.

4. Функція z = radic-y ні парна, ні непарна.

5. Функція z = radic-y не є періодичною.

6. Точка перетину графіка функції z = radic-y з осями координат лише одна: (0- 0).

7. Точка перетину графіка функції z = radic-y також є і нулем цієї функції.

8. Функція z = radic-y безперервно зростає.

9. Функція z = radic-y приймає лише позитивні значення, отже, графік її займає перше координатний кут.

Варіанти зображення функції z = radic-y

У математиці для полегшення обчислень складних виразів часом використовують ступеневу форму написання кореня квадратного: radic-y = y^1/2. Такий варіант зручний, наприклад, в зведенні функції в ступінь: (radic-y)⁴= (Y^1/2)⁴= Y². Цей метод є вдалим поданням і при диференціюванні з інтеграцією, оскільки завдяки йому корінь квадратний представляється звичайною статечної функцією.

А в програмуванні заміною символу radic- є комбінація букв sqrt. обчислення квадратного кореня Варто відзначити, що в даній області квадратний корінь дуже затребуваний, тому що входить до складу більшості геометричних формул, необхідних для обчислень. Сам алгоритм підрахунку досить складний і будується на рекурсії (функції, що викликає сама себе).

Корінь квадратний у комплексному поле З

За великим рахунком саме предмет даної статті стимулював відкриття поля комплексних чисел C, так як математикам не давав спокою питання отримання кореня парному ступеня з негативного числа. Так з'явилася уявна одиниця i, яка характеризується дуже цікавою властивістю: її квадратом є -1. Завдяки цьому квадратні рівняння і при негативному дискримінант отримали рішення. В С для кореня квадратного актуальні ті ж властивості, що і в R, єдине, зняті обмеження з подкоренного вираження.

Особистість