Десяткові дроби та дії з ними. Розподіл і множення десяткових дробів
Десяткова дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілі числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел істотно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їх запис стає звичною, а прочитання не викликає труднощів, і освоєні правила десяткових дробів. Тим більше що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки потрібно запам'ятати деякі особливості.
Визначення десяткового дробу
Десяткова дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо в знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім - дробова. Причому запис другої половини числа буде залежати від знаменника. Кількість цифр, які знаходяться в дробової частини, має дорівнювати розряду знаменника.
Проілюструвати вищесказане можна цими числами:
9/10 = 0,9- 178/10000 = 0,0178- 3,05- 56 003,7006.
Причини, з яких знадобилося застосування десяткових дробів
Математикам потрібні десяткові дроби з кількох підстав:
Спрощення записи. Така дріб розташована уздовж однієї лінії без рисочки між знаменником і чисельником, при цьому наочність не страждає.
Простота в порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що знаходяться в однакових позиціях, в той час як з звичайними дробами довелося б приводити їх до спільного знаменника.
Спрощення обчислень.
Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десяткову запис чисел.
Як правильно прочитати такі числа?
Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять тільки дробу без цілого значення, тоді при читанні потрібно вимовляти «нуль цілих».
Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п'ять тисячних, в той же час 0,045 звучатиме як нуль цілих сорок п'ять тисячних.
Змішане число з цілою частиною рівною 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.
Роль розрядів у записі дробів
Вірно відзначити розряд - це те, що вимагає математика. Десяткові дроби та їх значення можуть суттєво змінитися, якщо записати цифру не в тому місці. Втім, це було справедливо і раніше.
Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробу потрібно просто скористатися правилами, відомими для натуральних чисел. А в правій частині вони дзеркально відображаються і по-іншому читаються. Якщо в цілій частині звучало "десятки", то після коми це будуть вже "десятого".
Наочно це можна побачити в цій таблиці.
| клас | тисячі | одиниці | , | дрібна частина | |||||||
| розряд | сот. | дес. | од. | сот. | дес. | од. | десята | сота | тисячна | десятитисячна | |
Як правильно записати змішане число десятковим дробом?
Якщо в знаменнику стоїть число, рівне 10 або 100, та інші, то питання про те, як дріб перевести в десяткову, нескладний. Для цього достатньо по-іншому переписати всі її складові частини. У цьому допоможуть такі пункти:
трохи осторонь написати чисельник дробу, в цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;
перемістити кому вліво, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів в знаменнику;
якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях повинні опинитися нулі;
нулі, які були наприкінці чисельника, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;
перед коми приписати цілу частину, якщо її не було, то тут теж виявиться нуль.
Увага. Не можна закреслювати нулі, які опинилися оточені іншими цифрами.
Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці і нулів, як дріб переводити в десяткову, можна прочитати трохи нижче. Це важлива інформація, з якою обов'язково варто ознайомитися.
Як дріб перевести в десяткову, якщо знаменник - довільне число?
Тут можливі два варіанти:
Коли знаменник можна представити у вигляді числа, яке дорівнює десяти в будь-якого ступеня.
Якщо таку операцію проробити не можна.
Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо у творі присутні тільки 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється в кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з'являються 3, 7 та інші прості числа, то результат буде нескінченним. Таку десяткову дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округляти. Про це буде мова трохи нижче.
Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже до речі.
Нехай в знаменниках знаходяться числа: 40, 24 і 75. Розклад на прості множники для них буде таке:
- 40 = 2middot-2middot-2middot-5;
- 24 = 2middot-2middot-2middot-3;
- 75 = 5middot-5middot-3.
У цих прикладах тільки перша дріб може бути представлена у вигляді кінцевої.
Алгоритм перекладу звичайного дробу в кінцеву десяткову
Перевірити розкладання знаменника на прості множники і переконатися в тому, що воно буде складатися з 2 і 5.
Додати до цих чисел стільки 2 і 5, щоб їх стало рівну кількість. Вони дадуть значення додаткового множника.
Провести множення знаменника і чисельника на це число. В результаті вийде звичайна дріб, під рискою у якої коштує 10 в деякій мірі.
Далі діяти так, як було описано в пункті, розташованому трохи вище.
Якщо в задачі ці дії виконуються зі змішаним числом, то його спочатку потрібно представити у вигляді неправильного дробу. А вже потім діяти за описаним сценарієм.
Подання звичайного дробу у вигляді округленої десяткової
Цей спосіб того, як дріб переводити в десяткову, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількості дій. Потрібно тільки розділити значення чисельника на знаменник.
До будь-якого числа з десяткової частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цією властивістю і потрібно скористатися.
Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильна, то написати нуль.
Потім покладається виконати поділ чисельника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них було однаковим. Тобто приписати праворуч у чисельника потрібну кількість нулів.
Виконувати ділення в стовпчик до тих пір, поки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх повинно бути 3. Загалом, цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в результаті.
Записати проміжну відповідь після коми і округлити за правилами. Якщо остання цифра - від 0 до 4, то її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то стоїть перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.
Повернення від десяткового дробу до звичайної
У математиці зустрічаються задачі, коли десяткові дроби зручніше представити у вигляді звичайних, в яких є чисельник зі знаменником. Можна зітхнути з полегшенням: ця операція можлива завжди.
Для цієї процедури потрібно зробити наступне:
записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, то нічого писати не треба;
провести дробову риску;
над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, то їх потрібно закреслити;
під рискою написати одиницю з такою кількістю нулів, скільки цифр стоїть після коми в первісної дробу.
Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десяткову дріб в звичайну.
Що можна робити з десятковими дробами?
У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.
Ними є:
порівняння;
додавання і віднімання;
множення і ділення.
Перша дія, порівняння, схоже на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше, потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами порівнюють їх. Те число, де опиниться велика цифра в старшому розряді, і буде відповіддю.
Додавання і віднімання десяткових дробів
Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.
Так, щоб виконати складання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми у стовпчик. При такого запису зліва від запитах виявляються цілі частини, а праворуч - дробові. І тепер потрібно скласти цифри поразрядно, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати додавання потрібно з самого маленького розряду дробової частини числа. Якщо в правій половині не вистачає цифр, то дописують нулі.
При відніманні діють так само. І тут діє правило, яке описує можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в зменшуватися дробу після коми менше цифр, ніж у від'ємника, то в ній просто приписують нулі.
Трохи складніше йде справа із завданнями, де потрібно виконати множення і ділення десяткових дробів.
Як помножити десяткову дріб у різних прикладах?
Правило, за яким здійснюється множення десяткових дробів на натуральне число, таке:
записати їх в стовпчик, не звертаючи уваги на кому;
перемножити, як якщо б вони були натуральними;
відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дробової частини вихідного числа.
Окремим випадком є приклад, в якому натуральне число дорівнює 10 в будь-якого ступеня. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути кому вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зсувається на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і так далі. Якщо цифр у дробовій частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.
Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно провести множення десяткових дробів на інше таке ж число:
записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;
помножити, як якщо б вони були натуральними;
відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дрібних частинах обох вихідних дробах разом.
Окремим випадком виділяються приклади, в яких один з множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. У них потрібно виконати переміщення коми вліво на кількість цифр у поданих множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.
Як розділити десяткову дріб в різних завданнях?
Ділення десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:
записати їх для ділення в стовпчик, як якщо б вони були натуральними;
ділити за звичним правилом до тих пір, поки не закінчиться ціла частина;
поставити у відповідь кому;
продовжити поділ дробової складової до отримання в залишку нуля;
якщо потрібно, то можна приписати потрібну кількість нулів.
Якщо ціла частина дорівнює нулю, то і у відповіді її теж не буде.
Окремо варто поділ на числа, рівні десятці, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів в дільнику. Буває, що цифр в цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна зауважити, що ця операція подібна множенню на 0,1 і подібним їй числам.
Щоб виконати ділення десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:
перетворити дільник в натуральне число, а для цього перенести в ньому кому вправо до кінця;
виконати переміщення коми і в подільному на таке ж число цифр;
діяти за попереднім сценарієм.
Виділяється поділ на 0,1- 0,01 та інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається вправо на число цифр у дробовій частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати відсутню кількість нулів. Варто відзначити, що ця дія повторює розподіл на 10 і подібні йому числа.
Висновок: вся справа в практиці
Ніщо в навчанні не дається легко і без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час і тренування. Математика не виняток.
Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів якомога більше. Адже був час, коли і складання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер все нормально.
Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати і ще раз вирішувати. Тоді й завдання з такими числами будуть виконуватися легко і невимушено, як чергова головоломка.
До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім потрібно робити звичні рухи. Так само і в математичних прикладах: пройшовши по одному шляху кілька разів, потім вже не будеш замислюватися над тим, куди повернути.
