Десяткові дроби та дії з ними. Розподіл і множення десяткових дробів

Десяткова дріб використовується, коли потрібно виконувати дії з нецілі числами. Це може здатися нераціональним. Але такий вид чисел істотно полегшує математичні операції, які з ними необхідно виконувати. Це розуміння приходить з часом, коли їх запис стає звичною, а прочитання не викликає труднощів, і освоєні правила десяткових дробів. Тим більше що всі дії повторюють вже відомі, які засвоєні з натуральними числами. Тільки потрібно запам'ятати деякі особливості.

Визначення десяткового дробу

Десяткова дріб - це особливе уявлення нецілого числа зі знаменником, який ділиться на 10, а відповідь виходить у вигляді одиниці і, можливо, нулів. Іншими словами, якщо в знаменнику 10, 100, 1000 і так далі, то зручніше переписати число з використанням коми. Тоді до неї буде розташована ціла частина, а потім - дробова. Причому запис другої половини числа буде залежати від знаменника. Кількість цифр, які знаходяться в дробової частини, має дорівнювати розряду знаменника.

Проілюструвати вищесказане можна цими числами:

9/10 = 0,9- 178/10000 = 0,0178- 3,05- 56 003,7006.

десяткові дроби

Причини, з яких знадобилося застосування десяткових дробів

десяткові дроби 5 клас приклади

Математикам потрібні десяткові дроби з кількох підстав:

  1. Спрощення записи. Така дріб розташована уздовж однієї лінії без рисочки між знаменником і чисельником, при цьому наочність не страждає.

  2. Простота в порівнянні. Досить просто співвіднести цифри, що знаходяться в однакових позиціях, в той час як з звичайними дробами довелося б приводити їх до спільного знаменника.

  3. Спрощення обчислень.

  4. Калькулятори не розраховані на введення звичайних дробів, вони для всіх операцій використовують десяткову запис чисел.

множення і ділення десяткових дробів

Як правильно прочитати такі числа?

Відповідь проста: так само, як звичайне змішане число зі знаменником, кратним 10. Виняток становлять тільки дробу без цілого значення, тоді при читанні потрібно вимовляти «нуль цілих».

Наприклад, 45/1000 потрібно вимовити як сорок п'ять тисячних, в той же час 0,045 звучатиме як нуль цілих сорок п'ять тисячних.

Змішане число з цілою частиною рівною 7 і дробом 17/100, що запишеться як 7,17, в обох випадках буде прочитано як сім цілих сімнадцять сотих.

Роль розрядів у записі дробів

Вірно відзначити розряд - це те, що вимагає математика. Десяткові дроби та їх значення можуть суттєво змінитися, якщо записати цифру не в тому місці. Втім, це було справедливо і раніше.

Для прочитання розрядів цілої частини десяткового дробу потрібно просто скористатися правилами, відомими для натуральних чисел. А в правій частині вони дзеркально відображаються і по-іншому читаються. Якщо в цілій частині звучало "десятки", то після коми це будуть вже "десятого".

Наочно це можна побачити в цій таблиці.

Таблиця розрядів десяткового дробу
кластисячіодиниці,дрібна частина
розрядсот.дес.од.сот.дес.од.десятасотатисячнадесятитисячна

Як правильно записати змішане число десятковим дробом?

Якщо в знаменнику стоїть число, рівне 10 або 100, та інші, то питання про те, як дріб перевести в десяткову, нескладний. Для цього достатньо по-іншому переписати всі її складові частини. У цьому допоможуть такі пункти:

  • трохи осторонь написати чисельник дробу, в цей момент десяткова кома розташовується праворуч, після останньої цифри;

  • перемістити кому вліво, тут найголовніше - правильно порахувати цифри - пересунути її потрібно на стільки позицій, скільки нулів в знаменнику;

  • якщо їх не вистачає, то на порожніх позиціях повинні опинитися нулі;

  • нулі, які були наприкінці чисельника, тепер не потрібні, і їх можна закреслити;




  • перед коми приписати цілу частину, якщо її не було, то тут теж виявиться нуль.

Увага. Не можна закреслювати нулі, які опинилися оточені іншими цифрами.

Про те, як бути в ситуації, коли в знаменнику число не тільки з одиниці і нулів, як дріб переводити в десяткову, можна прочитати трохи нижче. Це важлива інформація, з якою обов'язково варто ознайомитися.

дії з десятковими дробами

Як дріб перевести в десяткову, якщо знаменник - довільне число?

Тут можливі два варіанти:

  1. Коли знаменник можна представити у вигляді числа, яке дорівнює десяти в будь-якого ступеня.

  2. Якщо таку операцію проробити не можна.

Як це перевірити? Потрібно розкласти знаменник на множники. Якщо у творі присутні тільки 2 і 5, то все добре, і дріб легко перетворюється в кінцеву десяткову. В іншому випадку, якщо з'являються 3, 7 та інші прості числа, то результат буде нескінченним. Таку десяткову дріб для зручності використання в математичних операціях прийнято округляти. Про це буде мова трохи нижче.

Вивчає, як виходять такі десяткові дроби, 5 клас. Приклади тут будуть дуже до речі.

Нехай в знаменниках знаходяться числа: 40, 24 і 75. Розклад на прості множники для них буде таке:

  • 40 = 2middot-2middot-2middot-5;
  • 24 = 2middot-2middot-2middot-3;
  • 75 = 5middot-5middot-3.

У цих прикладах тільки перша дріб може бути представлена у вигляді кінцевої.

Алгоритм перекладу звичайного дробу в кінцеву десяткову

  • Перевірити розкладання знаменника на прості множники і переконатися в тому, що воно буде складатися з 2 і 5.

  • Додати до цих чисел стільки 2 і 5, щоб їх стало рівну кількість. Вони дадуть значення додаткового множника.

  • Провести множення знаменника і чисельника на це число. В результаті вийде звичайна дріб, під рискою у якої коштує 10 в деякій мірі.

  • Далі діяти так, як було описано в пункті, розташованому трохи вище.

як дріб переводити в десяткову

Якщо в задачі ці дії виконуються зі змішаним числом, то його спочатку потрібно представити у вигляді неправильного дробу. А вже потім діяти за описаним сценарієм.

Подання звичайного дробу у вигляді округленої десяткової

Цей спосіб того, як дріб переводити в десяткову, комусь здасться навіть простіше. Тому що в ньому немає великої кількості дій. Потрібно тільки розділити значення чисельника на знаменник.

До будь-якого числа з десяткової частиною праворуч від коми можна приписати нескінченну кількість нулів. Цією властивістю і потрібно скористатися.

Спочатку записати цілу частину і поставити після неї кому. Якщо дріб правильна, то написати нуль.

Потім покладається виконати поділ чисельника на знаменник. Так, щоб кількість цифр у них було однаковим. Тобто приписати праворуч у чисельника потрібну кількість нулів.

Виконувати ділення в стовпчик до тих пір, поки не буде набрано потрібну кількість цифр. Наприклад, якщо округлити потрібно буде до сотих, то у відповіді їх повинно бути 3. Загалом, цифр має бути на одну більше, ніж потрібно отримати в результаті.

Записати проміжну відповідь після коми і округлити за правилами. Якщо остання цифра - від 0 до 4, то її потрібно просто відкинути. А коли вона дорівнює 5-9, то стоїть перед нею потрібно збільшити на одиницю, відкинувши останню.

Повернення від десяткового дробу до звичайної



У математиці зустрічаються задачі, коли десяткові дроби зручніше представити у вигляді звичайних, в яких є чисельник зі знаменником. Можна зітхнути з полегшенням: ця операція можлива завжди.

Для цієї процедури потрібно зробити наступне:

  • записати цілу частину, якщо вона дорівнює нулю, то нічого писати не треба;

  • провести дробову риску;

  • над нею записати цифри з правої частини, якщо першими йдуть нулі, то їх потрібно закреслити;

  • під рискою написати одиницю з такою кількістю нулів, скільки цифр стоїть після коми в первісної дробу.

Це все, що потрібно зробити, щоб перевести десяткову дріб в звичайну.

Що можна робити з десятковими дробами?

У математиці це будуть певні дії з десятковими дробами, які раніше виконувалися для інших чисел.

Ними є:

  • порівняння;

  • додавання і віднімання;

  • множення і ділення.

Перша дія, порівняння, схоже на те, як це робилося для натуральних чисел. Щоб визначити, яке більше, потрібно порівнювати розряди цілої частини. Якщо вони виявляться рівними, то переходять до дробової і так само за розрядами порівнюють їх. Те число, де опиниться велика цифра в старшому розряді, і буде відповіддю.

Додавання і віднімання десяткових дробів

Це, мабуть, найпростіші дії. Тому що виконуються за правилами для натуральних чисел.

правила десяткових дробів

Так, щоб виконати складання десяткових дробів, їх потрібно записати один під одним, розмістивши коми у стовпчик. При такого запису зліва від запитах виявляються цілі частини, а праворуч - дробові. І тепер потрібно скласти цифри поразрядно, як це робиться з натуральними числами, знісши вниз кому. Починати додавання потрібно з самого маленького розряду дробової частини числа. Якщо в правій половині не вистачає цифр, то дописують нулі.

При відніманні діють так само. І тут діє правило, яке описує можливість зайняти одиницю у старшого розряду. Якщо в зменшуватися дробу після коми менше цифр, ніж у від'ємника, то в ній просто приписують нулі.

Трохи складніше йде справа із завданнями, де потрібно виконати множення і ділення десяткових дробів.

Як помножити десяткову дріб у різних прикладах?

Правило, за яким здійснюється множення десяткових дробів на натуральне число, таке:

  • записати їх в стовпчик, не звертаючи уваги на кому;

  • перемножити, як якщо б вони були натуральними;

  • відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дробової частини вихідного числа.

Окремим випадком є приклад, в якому натуральне число дорівнює 10 в будь-якого ступеня. Тоді для отримання відповіді потрібно просто пересунути кому вправо на стільки позицій, скільки нулів в іншому множнику. Іншими словами, при множенні на 10 кома зсувається на одну цифру, на 100 - їх буде вже дві, і так далі. Якщо цифр у дробовій частині не вистачає, то потрібно записати на порожніх позиціях нулі.



Правило, яким користуються, коли в завданні потрібно провести множення десяткових дробів на інше таке ж число:

  • записати їх один під одним, не звертаючи уваги на коми;

  • помножити, як якщо б вони були натуральними;

  • відокремити комою стільки цифр, скільки їх було в дрібних частинах обох вихідних дробах разом.

Окремим випадком виділяються приклади, в яких один з множників дорівнює 0,1 або 0,01 і далі. У них потрібно виконати переміщення коми вліво на кількість цифр у поданих множниках. Тобто якщо множиться на 0,1, то кома зсувається на одну позицію.

Як розділити десяткову дріб в різних завданнях?

Ділення десяткових дробів на натуральне число виконується за таким правилом:

  • записати їх для ділення в стовпчик, як якщо б вони були натуральними;

  • ділити за звичним правилом до тих пір, поки не закінчиться ціла частина;

  • поставити у відповідь кому;

  • продовжити поділ дробової складової до отримання в залишку нуля;

  • якщо потрібно, то можна приписати потрібну кількість нулів.

Якщо ціла частина дорівнює нулю, то і у відповіді її теж не буде.

Окремо варто поділ на числа, рівні десятці, сотні і так далі. У таких завданнях потрібно пересунути кому вліво на кількість нулів в дільнику. Буває, що цифр в цілій частині не вистачає, тоді замість них використовують нулі. Можна зауважити, що ця операція подібна множенню на 0,1 і подібним їй числам.

Щоб виконати ділення десяткових дробів, потрібно скористатися цим правилом:

  • перетворити дільник в натуральне число, а для цього перенести в ньому кому вправо до кінця;

  • виконати переміщення коми і в подільному на таке ж число цифр;

  • діяти за попереднім сценарієм.

Виділяється поділ на 0,1- 0,01 та інші подібні числа. У таких прикладах кома зсувається вправо на число цифр у дробовій частині. Якщо вони закінчилися, то потрібно приписати відсутню кількість нулів. Варто відзначити, що ця дія повторює розподіл на 10 і подібні йому числа.

математика десяткові дроби

Висновок: вся справа в практиці

Ніщо в навчанні не дається легко і без зусиль. Для надійного освоєння нового матеріалу потрібні час і тренування. Математика не виняток.

Щоб тема про десяткові дроби не викликала труднощів, потрібно вирішувати з ними прикладів якомога більше. Адже був час, коли і складання натуральних чисел ставило в глухий кут. А тепер все нормально.

Тому, перефразовуючи відому фразу: вирішувати, вирішувати і ще раз вирішувати. Тоді й завдання з такими числами будуть виконуватися легко і невимушено, як чергова головоломка.

До речі, і головоломки спочатку вирішуються складно, а потім потрібно робити звичні рухи. Так само і в математичних прикладах: пройшовши по одному шляху кілька разів, потім вже не будеш замислюватися над тим, куди повернути.



Оцініть, будь ласка статтю
Всього голосів: 31

Увага, тільки СЬОГОДНІ!