Квадратні рівняння. Рішення квадратних рівнянь
Ця тема спочатку може здатися складною через безліч не найпростіших формул. Мало того що самі квадратні рівняння мають довгі записи, ще й корені знаходяться через дискримінант. Всього виходить три нові формули. Не дуже просто запам'ятати. Це вдається тільки після частого вирішення таких рівнянь. Тоді всі формули будуть згадуватися самі собою.
Загальний вигляд квадратного рівняння
Тут запропонована їх явна запис, коли найбільша ступінь записана першою, і далі - по спадаючій. Часто бувають ситуації, коли доданки стоять вроздріб. Тоді краще переписати рівняння в порядку убування ступеня у змінної.
Введемо позначення. Вони представлені в таблиці нижче.
| Позначення величини | Її назва |
| а, в, с | коефіцієнти, які є довільними числами |
| х | змінна |
| Д | дискриминант |
| х1, х2 | корені рівняння |
Якщо прийняти ці позначення, все квадратні рівняння зводяться до наступного запису.
Причому коефіцієнт а ne- 0. Нехай ця формула буде позначена номером один.
Коли рівняння задано, то незрозуміло, скільки коренів буде у відповіді. Тому що завжди можливий один із трьох варіантів:
- у вирішенні буде два корені;
- відповіддю буде одне число;
- коренів у рівняння нічого очікувати зовсім.
І поки рішення не доведено до кінця, складно зрозуміти, який з варіантів випаде в конкретному випадку.
Види записів квадратних рівнянь
У завданнях можуть зустрічатися їх різні записи. Не завжди вони будуть виглядати як загальна формула квадратного рівняння. Іноді в ній буде не вистачати деяких доданків. Те що було записано вище - це повне рівняння. Якщо в ньому прибрати друге або третє доданок, то вийде щось інше. Ці записи теж називаються квадратними рівняннями, тільки неповними.
Причому зникнути можуть тільки доданки у яких коефіцієнти «в» і «с». Число «а» не може дорівнювати нулю ні за яких умов. Тому що в цьому випадку формула перетворюється в лінійне рівняння. Формули для неповного виду рівнянь будуть такими:
і
Отже, видів всього два, крім повних, є ще й неповні квадратні рівняння. Нехай перша формула матиме номер два, а друга - три.
Дискримінант і залежність кількості коренів від його значення
Це число потрібно знати для того, щоб обчислити корені рівняння. Воно може бути пораховано завжди, якою б не була формула квадратного рівняння. Для того щоб обчислити дискримінант, потрібно скористатися рівністю, записаним нижче, яке матиме номер чотири.
Після підстановки в цю формулу значень коефіцієнтів, можна отримати числа з різними знаками. Якщо відповідь позитивна, то відповіддю рівняння будуть два різних кореня. При негативному числі корені квадратного рівняння будуть відсутні. У разі його рівності нулю відповідь буде одна.
Як вирішується квадратне рівняння повного виду?
По суті, розгляд цього питання вже почалося. Тому що спочатку потрібно знайти дискримінант. Після того як з'ясовано, що є корені квадратного рівняння, і відомо їх число, потрібно скористатися формулами для змінних. Якщо коренів два, то потрібно застосувати таку формулу.
Оскільки в ній стоїть знак «±», то значень буде два. Вираз під знаком квадратного кореня - це дискриминант. Тому формулу можна переписати по-іншому.
Формула номер п'ять. З цієї ж записі видно, що якщо дискримінант дорівнює нулю, то обидва кореня візьмуть однакові значення.
Якщо рішення квадратних рівнянь ще не відпрацьовано, то краще до того, як застосовувати формули дискримінанта і змінної, записати значення всіх коефіцієнтів. Пізніше цей момент не викликатиме труднощів. Але на самому початку буває плутанина.
Як вирішується квадратне рівняння неповного виду?
Тут все набагато простіше. Навіть немає необхідності в додаткових формулах. І не знадобляться ті, що вже були записані для дискримінанту і невідомою.
Спочатку розглянемо неповне рівняння під номером два. У цій рівності покладається винести невідому величину за дужку і вирішити лінійне рівняння, яке залишиться в дужках. У відповіді буде два кореня. Перший - обов'язково дорівнює нулю, тому що є множник, що складається з самої змінної. Другий вийде при вирішенні лінійного рівняння.
Неповне рівняння під номером три вирішується перенесенням числа з лівої частини рівності в праву. Потім потрібно розділити на коефіцієнт, котрий перед невідомою. Залишиться тільки витягти квадратний корінь і не забути записати його два рази з протилежними знаками.
Корисні поради
Далі записані деякі дії, допомагає навчитися вирішувати всілякі види рівностей, які перетворюються на квадратні рівняння. Вони сприятимуть тому, що учень зможе уникнути помилок через неуважність. Ці недоліки бувають причиною поганих оцінок при вивченні великої теми «Квадратні рівняння (8 клас)». Згодом ці дії не потрібно буде постійно виконувати. Тому що з'явиться стійкий навик.
- Спочатку потрібно записати рівняння в стандартному вигляді. Тобто спочатку доданок з найбільшою ступенем змінної, а потім - без ступеня і останнім - просто число.
- Якщо перед коефіцієнтом «а» з'являється мінус, то він може ускладнити роботу для початківця вивчати квадратні рівняння. Від нього краще позбутися. Для цієї мети всі рівність потрібно помножити на «-1». Це означає, що у всіх доданків зміниться знак на протилежний.
- Таким же чином рекомендується позбавлятися від дробів. Просто помножити рівняння на відповідний множник, щоб знаменники скоротилися.
Приклади
Потрібно вирішити такі квадратні рівняння:
х2 - 7х = 0;
5х2 - 30 = 0;
15 - 2х - х2 = 0;
х2 + 8 + 3х = 0;
12х + х2 + 36 = 0;
(Х + 1)2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2).
Перше рівняння: х2 - 7х = 0. Воно неповне, тому вирішується так, як було описано для формули під номером два.
Після винесення за дужки виходить: х (х - 7) = 0.
Перший корінь приймає значення: х1 = 0. Другий буде знайдений із лінійного рівняння: х - 7 = 0. Легко помітити, що х2 = 7.
Друге рівняння: 5х2 + 30 = 0. Знову неповне. Тільки вирішується воно так, як описано для третьої формули.
Після перенесення 30 в праву частину рівності: 5х2 = 30. Тепер потрібно виконати поділ на 5. Виходить: х2 = 6. Відповідями будуть числа: х1 = radic-6, х2 = - radic-6.
Третє рівняння: 15 - 2х - х2 = 0. Тут і далі рішення квадратних рівнянь буде починатися з їх переписування в стандартний вигляд: - х2 - 2х + 15 = 0. Тепер прийшов час скористатися другим корисною порадою і помножити все на мінус одиницю. Виходить х2 + 2х - 15 = 0. За четвертою формулою потрібно обчислити дискримінант: Д = 22 - 4 * (- 15) = 4 + 60 = 64. Він являє собою позитивне число. З того, що сказано вище, виходить, що рівняння має два кореня. Їх потрібно обчислити по п'ятий формулою. По ній виходить, що х = (-2 ± radic-64) / 2 = (-2 ± 8) / 2. Тоді х1 = 3, х2 = - 5.
Четверте рівняння х2 + 8 + 3х = 0 перетворюється в таке: х2 + 3х + 8 = 0. Його дискриминант дорівнює такому значенню: -23. Оскільки це число негативне, то відповіддю до цього завдання буде такий запис: «Корній немає».
П'яте рівняння 12х + х2 + 36 = 0 слід переписати так: х2 + 12х + 36 = 0. Після застосування формули для дискримінанту виходить число нуль. Це означає, що у нього буде один корінь, а саме: х = -12 / (2 * 1) = -6.
Шосте рівняння (х + 1)2 + х + 1 = (х + 1) (х + 2) вимагає провести перетворення, які полягають в тому, що потрібно привести подібні доданки, до того розкривши дужки. На місці першої виявиться такий вислів: х2 + 2х + 1. Після рівності з'явиться цей запис: х2 + 3х + 2. Після того як подібні доданки будуть пораховані, рівняння прийме вигляд: х2 - х = 0. Воно перетворилося в неповне. Подібне йому вже розглядалося трохи вище. Країнами цього будуть числа 0 і 1.
