Площа трапеції: формули і методика обчислень
Для того щоб відчувати себе на уроках геометрії впевнено і успішно вирішувати завдання, недостатньо вивчити формули. Їх потрібно в першу чергу розуміти. Боятися, а тим більше ненавидіти формули - непродуктивно. У цій статті доступною мовою будуть проаналізовані різні способи пошуку площі трапеції. Для кращого засвоєння відповідних правил і теорем приділимо деяку увагу її властивостям. Це допоможе розібратися в тому, як працюють правила і в яких випадках слід застосовувати ті чи інші формули.
Визначаємо трапецію
Що це за фігура в цілому? Трапецією називають багатокутник з чотирьох кутів з двома паралельними сторонами. Дві інші сторони трапеції можуть бути нахилені під різними кутами. Її паралельні сторони називають підставами, а для непаралельних сторін застосовують найменування "бічні сторони" або "стегна". Такі постаті досить часто зустрічаються в повсякденному житті. Контури трапеції можна побачити в силуетах одягу, предметах інтер'єру, меблів, посуду та багатьох інших. Трапеція буває різних видів: різнобічна, равнобокая і прямокутна. Більш детально їх типи і властивості розберемо далі в статті.
Властивості трапеції
Зупинимося коротко на властивостях цієї фігури. Сума кутів, прилеглих до будь бічній стороні, завжди дорівнює 180 °. Треба зауважити, що всі кути трапеції в сумі складають 360 °. У трапеції існує поняття середньої лінії. Якщо з'єднати середини бічних сторін відрізком - це і буде середня лінія. Її позначають m. У середній лінії є важливі властивості: вона завжди паралельна основам (ми пам'ятаємо, що підстави також паралельні між собою) і дорівнює їх напівсумі:
m = (a + b) / 2.
Це визначення обов'язково треба вивчити і зрозуміти, адже це ключ до вирішення безлічі завдань!
У трапеції завжди можна опустити висоту на основу. Висота - це перпендикуляр, часто позначається символом h, який проведений з будь-якої точки одного підстави на інше підставу або його продовження. Середня лінія і висота допоможуть знайти площу трапеції. Подібні завдання є найпоширенішими в шкільному курсі геометрії та регулярно з'являються серед контрольних та екзаменаційних робіт.
Найпростіші формули площі трапеції
Розберемо дві найпопулярніші і прості формули, за допомогою яких знаходять площа трапеції. Досить помножити висоту на полусумму підстав, щоб легко знайти шукане:
S = h * (a + b) / 2.
У цій формулі a, b позначають підстави трапеції, h - висоту. Для зручності сприйняття в цій статті знаки множення відзначені символом (*) у формулах, хоча в офіційних довідниках знак множення зазвичай опускають.
Розглянемо приклад.
Дано: трапеція з двома підставами, рівними 10 і 14 см, висота становить 7 см. Чому дорівнює площа трапеції?
Розберемо рішення цієї задачі. За цією формулою спочатку потрібно знайти полусумму підстав: (10 + 14) / 2 = 12. Отже, полусумма дорівнює 12 см. Тепер полусумму множимо на висоту: 12 * 7 = 84. Искомое знайдено. Відповідь: площа трапеції дорівнює 84 кв. см.
Друга відома формула говорить: площа трапеції дорівнює добутку середньої лінії на висоту трапеції. Тобто фактично випливає з попереднього поняття середньої лінії: S = m * h.
Використання діагоналей для обчислень
Інший спосіб знаходження площі трапеції насправді не так вже складний. Він пов'язаний з її діагоналями. За цією формулою для знаходження площі потрібно помножити полупроізведеніе її діагоналей (d1 d2) На синус кута між ними:
S = frac12- d1 d2 sina.
Розглянемо задачу, яка показує застосування цього способу. Дано: трапеція з довжиною діагоналей дорівнює відповідно 8 і 13 см. Кут a між діагоналями дорівнює 30 °. Знайти площу трапеції.
Рішення. Використовуючи вищенаведену формулу, легко обчислити необхідну. Як відомо, sin 30 ° становить 0,5. Отже, S = 8 * 13 * 0,5 = 52. Відповідь: площа дорівнює 52 кв. см.
Шукаємо площа равнобокой трапеції
Трапеція може бути равнобокой (рівнобедреної). Її бічні сторони однакові І кути при підставах рівні, що добре ілюструє малюнок. Рівнобедрена трапеція має такі ж властивості, що і звичайна, плюс ряд особливих. Навколо равнобокой трапеції може бути описана окружність, і в неї може бути вписане коло.
Які ж є методики обчислення площі такої фігури? Нижченаведений спосіб зажадає великих обчислень. Для його застосування потрібно знати значення синуса (sin) і косинуса (cos) кута при підставі трапеції. Для їх розрахунків потрібні або таблиці Брадіса або інженерний калькулятор. Ось ця формула:
S = c* Sin a* (a - c* Cos a),
де з - бічне стегно, a - кут при нижньому підставі.
Равнобокая трапеція володіє діагоналями однакової довжини. Вірно і зворотне твердження: якщо у трапеції діагоналі рівні, то вона є рівнобедреної. Звідси наступна формула, що допомагає знайти площу трапеції - полупроізведеніе квадрата діагоналей на синус кута між ними: S = frac12- d2 sina.
Знаходимо площу прямокутної трапеції
Відомий окремий випадок прямокутної трапеції. Це трапеція, у якої одна бічна сторона (її стегно) примикає до підстав під прямим кутом. Вона має властивості звичайної трапеції. Крім цього, вона володіє дуже цікавою особливістю. Різницю квадратів діагоналей такий трапеції дорівнює різниці квадратів її підстав. Для неї використовують всі раніше наведені методики обчислення площі.
Застосовуємо кмітливість
Є одна хитрість, яка може допомогти у разі забудькуватості специфічних формул. Розглянемо уважніше, що являє собою трапеція. Якщо подумки розділити її на частини, то ми отримаємо знайомі і зрозумілі геометричні фігури: квадрат або прямокутник і трикутник (один або два). Якщо відомі висота і сторони трапеції, можна скористатися формулами площі трикутника і прямокутника, після чого скласти всі отримані величини.
Проілюструємо це таким прикладом. Дана прямокутна трапеція. Кут C = 45 °, кути A, D становлять 90 °. Верхнє підставу трапеції дорівнює 20 см, висота дорівнює 16 см. Потрібно обчислити площу фігури.
Рішення
Дана фігура очевидним чином складається з прямокутника (якщо два кути рівні 90 °) і трикутника. Так як трапеція прямокутна, отже, її висота дорівнює її бічній стороні, тобто 16 см. Маємо прямокутник зі сторонами 20 і 16 см відповідно. Розглянемо тепер трикутник, кут якого дорівнює 45 °. Ми знаємо, що одна його сторона складає 16 см. Так як ця сторона є одночасно висотою трапеції (а нам відомо, що висота опускається на підставу під прямим кутом), отже, другий кут трикутника дорівнює 90 °. Звідси залишився кут трикутника становить 45 °. Наслідком цього ми отримуємо прямокутний трикутник, у якого дві сторони однакові. Значить, інша сторона трикутника дорівнює висоті, тобто 16 см. Залишилося обчислити площу трикутника і прямокутника і скласти отримані величини.
Площа прямокутного трикутника дорівнює половині твори його катетів: S = (16 * 16) / 2 = 128. Площа прямокутника дорівнює добутку його ширини на довжину: S = 20 * 16 = 320. Ми знайшли необхідну: площа трапеції S = 128 + 320 = 448 кв. см. Можна легко себе перевірити, скориставшись вищенаведеними формулами, відповідь буде ідентичний.
Використовуємо формулу Піка
Наостанок наведемо ще одну оригінальну формулу, яка допомагає шукати площа трапеції. Вона називається формулою Піка. Нею зручно користуватися, коли трапеція намальована на картатій папері. Подібні завдання часто зустрічаються в матеріалах ДПА. Виглядає вона наступним чином:
S = M / 2 + N - 1,
в цій формулі M - кількість вузлів, тобто пересічний ліній фігури з лініями клітини на кордонах трапеції (помаранчеві точки на малюнку), N - кількість вузлів всередині фігури (сині точки). Найзручніше користуватися нею при знаходженні площі неправильного багатокутника. Тим не менш, чим більше арсенал використовуваних методик, тим менше помилок і краще результати.
Зрозуміло, наведеними відомостями далеко не вичерпуються типи і властивості трапеції, а також способи пошуку її площі. У цій статті дано огляд найбільш важливих її характеристик. У рішенні геометричних задач важливо діяти поступово, починати з легких формул і завдань, послідовно закріплювати розуміння, переходити на інший рівень складності.
Зібрані воєдино найпоширеніші формули допоможуть учням зорієнтуватися в різноманітних способах обчислення площі трапеції і більш якісно підготуватися до тестів і контрольних робіт по цій темі.
