Геометрична прогресія, її застосування при вирішенні задач

МИ У СОЦМЕРЕЖАХ -

Стародавній індійський цар вирішив щедро нагородити винахідника шахів: «Проси в мене, що хочеш за таку мудру гру». Скромний відповідь здивувала правителя, коли мудрець попросив пшеничних зерен стільки, скільки поміститься на 64 клітинах шахової дошки. Він сказав: «На перший клітку поклади 1 зерно, на другу - 2, на третьому - вже 4, потім 8, 16, 32, ...». Кількість зерен треба було кожного разу подвоювати. Результат при підрахунку приголомшив царя. Зерен нарахували 230 584 300 921 369 пудів. Виявляється, з даного ряду чисел вийшла геометрична прогресія. Сума її членів являє собою таке велике число, що зерна нарахували у багато разів більше всього світового врожаю пшениці.

Послідовність чисел

У ній кожне наступне число, починаючи з другого, виходить множенням попереднього на деяке постійне число q (const), зване знаменником. Перше число в₁ne- 0 і q ne- 0. Записати її можна так:
в₁- в₂= В₁• q- в₃= В₂• q- ... - в_п= В_п-1• q.
У нашому прикладі {в_п} Числа дуже швидко ростуть. Це зростаюча геометрична прогресія, так як позитивний знаменник q> 1 і в₁> 0. Якщо | q | <1, прогресія спадна, при q <0 - Знакозмінні. Ось формула будь-якого члена такій послідовності:
в_п= В₁• q^п-1.
Запропонована задача про зернах вирішується за відомою формулою суми п-перших членів зростаючої геометричній прогресії
S = (а₁-а_п• q) :( 1-q), за умови, що q ne- 1.
Для вирішення багатьох інших завдань важливо знати характеристичне властивість прогресії. Будь член в квадраті (крім першого) дорівнює добутку членів, рівновіддалених від нього,
в_п² = В_п-к• в_{п + к}, де 1 le- до <п, п ge- 2.

Нескінченна геометрична прогресія

Спадна геометрична прогресія

Вона являє собою ряд чисел при п прагне до infin-. Прикладом може стати послідовність площ квадратів, які виходять так. З'єднуємо середини сторін даного одиничного, потім так само з'єднуємо середини сторін нового квадрата, продовжуємо цей процес без кінця {1, frac12-, frac14-, 1/8, ...}. Перший член прогресії 1, знаменник frac12-. Спадна геометрична прогресія називається нескінченною, якщо знаменник її належить відкритому відрізку (0, 1). Якщо розглядати відрізок (-1, 1), то треба говорити про сходяться і розходяться послідовності чисел. При вирішенні прикладних задач корисно знати просту формулу суми членів нескінченно спадної геометричної прогресії.
S = в₁/ (1-q).

Приклади задач, де використовується геометрична прогресія

Записати періодичну дріб 0, (13) у вигляді раціонального числа (звичайного дробу).
Уявімо десяткову дріб у вигляді суми:
0,131313 ... = 13/100 + 13/10000 + 13/1000000 + ...
Очевидно, в₁ = 13/100, обчислимо q: 13/10000 розділимо на 13/100,
отримаємо q = 1/100. Запропоновану суму легко знайти за формулою
S = (13/100) / (1- (1/100)) = (13/100) • (100/99) = 13/99 - це і є уявлення десяткового дробу у вигляді звичайної.
У нескінченно спадної прогресії відомий другого член а₂ = 21 і сума S = 112. Потрібно знайти її перший член. При вирішенні використовуємо формули суми нескінченної геометричної і другого члена прогресії, одержимо систему 2-х рівнянь з двома невідомими.
Перший рівняння цієї системи 112 = а₁/ (1-q), а₁ = 21 / q - друге.
Вирішивши її, отримаємо квадратне рівняння щодо q.
112q²-112q + 21 = 0, спростимо 16q²-16q + 3 = 0.
В результаті 2 корені q₁ = 3/4, q₂ = frac14-. Перший член
а₁ = 21 / (3/4), і перший член а₁ = 21 / (1/4).
Завдання наше має 2 рішення: а₁ = 28, а₁ = 84.

Висновок

Геометрична прогресія широко використовується при вирішенні багатьох завдань на знаходження номера даного члена послідовності, її знаменника за умови, коли не задані два сусідніх члена. Є цікаві завдання, в яких члени записані у вигляді виразів зі змінними.

Особистість