Гіпотеза Пуанкаре: історія проблеми, доказ, сенс
Зі шкільного курсу кожен знайомий з поняттями теореми і гіпотези. Як правило, в житті зачіпаються найпростіші і примітивні закони, в той час як математики роблять дуже складні припущення і ставлять цікаві проблеми. Далеко не завжди їм самим вдається знайти рішення і докази, а в деяких випадках над цим багато років б'ються їхні послідовники і просто колеги.
Інститут Клея в 2000 сформував список з 7 так званих Проблем Тисячоліття за аналогією з переліком гіпотез, складеним у 1900 році. Ті завдання майже всі виявилися до теперішнього часу вирішені, тільки одна з них перекочувала в оновлену версію. Зараз список проблем виглядає наступним чином:
- гіпотеза Ходжа;
- рівність класів P і NP;
- гіпотеза Пуанкаре;
- теорія Янга-Міллса;
- гіпотеза Рімана;
- існування і гладкість рішення рівнянь Нав'є-Стокса;
- гіпотеза Берча-Свіннертона-Дайера.
Всі вони відносяться до різних дисциплін всередині математики і мають важливе значення. Наприклад, рівняння Нав'є-Стокса відносяться до гідродинаміки, а на практиці можуть описати поведінку речовини в земній магмі або в нагоді в прогнозі погоди. Але всі ці проблеми все ще шукають свого доведення або спростування. Крім однієї.
Теорема Пуанкаре
Пояснити простими словами, в чому полягає ця проблема, досить непросто, але спробувати можна. Уявімо собі сферу, наприклад, мильна бульбашка. Всі точки його поверхні рівновіддалені від його центру, який їй не належить. Але це двовимірне тіло, а гіпотеза говорить про тривимірному. Це уявити вже неможливо, але на те у нас і є теоретична математика. При цьому, зрозуміло, всі крапки цього тіла також будуть віддалені від центру.
Ця проблема відноситься до топології - науці про властивості геометричних фігур. І одним з базових термінів у ній є гомеоморфними, тобто висока ступінь схожості. Щоб навести приклад, можна уявити кулю і тор. Одну фігуру ніяк не можна отримати з іншої, уникнувши розривів, а ось конус, куб або циліндр з першого вийдуть досить легко. Ось гіпотеза Пуанкаре і присвячена цим метаморфоз з однією лише різницею - йдеться про багатовимірному просторі і тілах.
Історія
Французький математик Анрі Пуанкаре займався самими різними областями науки. Про його досягнення може сказати, наприклад, той факт, що зовсім незалежно від Альберта Ейнштейна він висунув основні положення спеціальної теорії відносності. У 1904 році він підняв проблему докази того, що будь-яке тривимірне тіло, що володіє деякими властивостями сфери, нею і є з точністю до деформації. Пізніше вона була розширена і узагальнена, і стала окремим випадком гіпотези Терстона, сформульованої в 1982 році.
Формулювання
Пуанкаре спочатку залишив таке твердження: всяке однозв'язного компактне тривимірне різноманіття без краю гомеоморфний тривимірної сфері. Надалі воно було розширене і узагальнено. І все ж протягом тривалого часу саме початкова задача викликала найбільше проблем, і була вирішена лише через 100 років після її появи.
Інтерпретація і сенс
Про те, що таке гомеоморфними, мова вже йшла. Тепер варто поговорити про компактності і однозв'язного. Перше означає лише, що різноманіття має обмежені розміри, не може бути безперервно і нескінченно розтягнуто.
Що стосується односвязаності, можна спробувати навести простий приклад. Двовимірна сфера - яблуко - володіє однією цікавою властивістю. Якщо взяти звичайну замкнуту гумку і прикласти її до поверхні, то плавною деформацією її можна звести в одну точку. Це і є властивість односвязаності, але уявити його стосовно до тривимірного простору досить важко.
Якщо говорити зовсім просто, проблематика полягала в тому, щоб довести, що однозв'язного - унікальне для сфери властивість. І якщо, умовно кажучи, досвід з гумкою завершився з таким результатом, то тіло гомеоморфний їй. Що ж стосується додатка цієї теорії до життя, Пуанкаре вважав, що Всесвіт в деякому розумінні і є тривимірною сферою.
Доказ
Не варто думати, що з десятків математиків, які працювали по всьому світу, ніхто не просунувся ні на йоту, займаючись цією проблемою. Навпаки, прогрес був, і врешті-решт він привів до результату. Сам Пуанкаре не встиг закінчити роботу, але його дослідження серйозно просунули всю топологію.
У 1930-х роках інтерес до гіпотези повернувся. Перш за все, формулювання була розширена до "n-мірного простору", а потім американець Уайтхед повідомив про успішне доказі, пізніше відмовившись від нього. У 60-70-х відразу два математика - Смейл і Столлінгс - практично одночасно, але різними способами розробили рішення для всіх n більше 4.
У 1982 році і для 4 було знайдено доказ, залишалося тільки 3. У тому ж році Терстон сформульований гіпотезу про геометризації, при цьому теорія Пуанкаре стала її окремим випадком.
Далі робота кілька застопорилася - американець Річард Гамільтон запропонував використовувати у вирішенні потік Річчі, але зіткнувся з труднощами і не завершив дослідження.
На 20 років гіпотеза Пуанкаре була наче забута. У 2002 році російський математик Григорій Перельман представив рішення в загальних рисах, через півроку зробивши деякі доповнення. Вже пізніше цей доказ перевіряли і доводили "до блиску" американські та китайські вчені. А сам Перельман немов втратив до проблеми весь інтерес, хоча він вирішив більш загальну задачу про геометризації, для якої гіпотеза Пуанкаре є лише окремим випадком.
Визнання та оцінки
Зрозуміло, це відразу стало сенсацією, адже вирішення однієї з Проблем Тисячоліття просто не могло виявитися непоміченим. Ще більше здивування викликав той факт, що Григорій Перельман відмовився від усіх нагород і премій, повідомивши, що йому і так прекрасно живеться. В умах обивателів він відразу став прикладом того самого напівбожевільного генія, якого цікавить тільки наука.
Все це викликало багато обговорень у пресі та ЗМІ, що популярність математика стала його обтяжувати. Влітку 2014 пройшла інформація про те, що Перельман поїхав працювати до Швеції, але це виявилося лише чутками, він все ще скромно живе в Санкт-Петербурзі і майже ні з ким не спілкується. Серед нагород, присуджених йому, були не тільки премія інституту Клея, а й престижна медаль Філдса, але він відмовився від усього. Втім, Гамільтон, який за оцінками Перельмана зробив не менший внесок на доказ, теж не був забутий. У 2009 і 2011 роках він також удостоївся деяких престижних нагород і премій.
Відображення в культурі
Незважаючи на те що для простих обивателів як постановка, так і вирішення цієї проблеми представляють мало сенсу, про доказ стало відомо досить швидко. У 2008 році з цього приводу японським режисером Масахіто Касуга був знятий документальний фільм "Чари гіпотези Пуанкаре", присвячений столітнім спробам вирішити цю задачу.
У зйомках взяли участь багато математики, які займалися цією проблемою, але ось головний герой - Григорій Перельман - зробити цього не захотів. Більш-менш близькі його знайомі також були задіяні в зйомках. Документальний фільм, вийшовши на екрани на хвилі суспільного резонансу з приводу відмови вченого прийняти премію, в певних колах здобув славу, а також отримав кілька нагород. Що ж стосується масової культури, прості люди досі гадають, якими доводами керувався петербурзький математик, відмовившись взяти гроші, коли він міг віддати їх, наприклад, на благодійність.
