Що таке стрічка Мебіуса? Стрічка Мебіуса - загадка сучасності
Існують наукові знання і явища, які привносять в буденність нашого життя таємницю і загадку.
Стрічка Мебіуса ставиться до них повною мірою. Сучасна математика чудово описує за допомогою формул всі її властивості та особливості. А ось звичайні люди, слабо розбираються в топоніміці і інших геометричних премудростях, практично щодня стикаються з предметами, виготовленими за її образом і подобою, навіть не підозрюючи про це.
Що це таке?
Стрічка Мебіуса, яку також називають петлею, поверхнею або листом, - це об'єкт вивчення такої математичної дисципліни, як топологія, що досліджує загальні властивості фігур, що зберігаються при таких безперервних перетвореннях, як скручування, розтяг, стиск, згинання та інших, не пов'язаних з порушенням цілісності . Дивовижною і неповторною особливістю такої стрічки є те, що він має всього одну сторону і край і ніяк не пов'язані з її розташуванням в просторі. Лист Мебіуса є топологічним, тобто безперервним об'єктом з найпростішої односторонньої поверхнею з кордоном в звичайному Евклідовому просторі (3-вимірному), де можливо з однієї точки такій поверхні, не перетинаючи краю, потрапити в будь-яку іншу.
Хто і коли її відкрив?
Такий непростий об'єкт, як стрічка Мебіуса, був і відкритий досить незвично. Насамперед відзначимо, що два математика, абсолютно не зв'язані між собою в дослідженнях, відкрили її одночасно - в 1858 році. Ще одним цікавим фактом є те, що обидва цих учених в різний час були учнями одного і того ж великого математика - Йоганна Карла Фрідріха Гаусса. Так, аж до 1858 року вважалося, що будь-яка поверхня повинна мати дві сторони. Однак Йоганн Бенедикт Лістинг і Август Фердинанд Мебіус відкрили геометричний об'єкт, у якого була всього одна сторона, і описують його властивості. Стрічка була названа на честь Мебіуса, а ось батьком-засновником «гумовою геометрії» топологи вважають лістингу і його праця «Попередні дослідження по топології».
Властивості
Стрічці Мебіуса притаманні такі властивості, не змінюються при її стисканні, розрізуванні уздовж або смінаніі:
1. Наявність одного боку. А. Мебіус у своїй праці «Про обсяг багатогранників» описав геометричну поверхню, названу потім на його честь, що володіє всього однією стороною. Перевірити це досить просто: беремо стрічку або лист Мебіуса і намагаємося зафарбувати внутрішню сторону одним кольором, а зовнішню - іншим. Не має значення, в якому місці і напрямку було розпочато фарбування, вся фігура буде зафарбована одним кольором.
2. Безперервність виражається в тому, що будь-яку точку цієї геометричної фігури можна з'єднати з будь-якої іншої її точкою, не перетинаючи кордону поверхні Мебіуса.
3. Зв'язність, або двомірність, полягає в тому, що при розрізанні стрічки вздовж, з неї не вийде кілька різних фігур, і вона залишається цілісною.
4. У ній відсутня така важлива властивість, як орієнтованість. Це означає, що людина, що йде по цій фігурі, повернеться до початку свого шляху, але тільки в дзеркальному відображенні самого себе. Таким чином, нескінченна стрічка Мебіуса може призвести до вічного подорожі.
5. Особливий хроматичний номер, який показує, яке максимально можливе число областей на поверхні Мебіуса, можна створити так, щоб у будь-який з них був спільний кордон з усіма іншими. Стрічка Мебіуса має хроматичний номер - 6, а ось кільце з паперу - 5.
Наукове використання
Сьогодні лист Мебіуса і його властивості широко застосовуються в науці, служачи основою для побудови нових гіпотез і теорій, проведення досліджень і експериментів, створення нових механізмів і пристроїв.
Так, існує гіпотеза, згідно з якою Всесвіт - це величезна петля Мебіуса. Побічно про це свідчить і теорія відносності Ейнштейна, згідно з якою навіть полетів прямо корабель може повернутися в ту ж тимчасову і просторову точку, звідки стартував.
Інша теорія розглядає ДНК як частина поверхні Мебіуса, що пояснює складнощі з прочитанням і розшифровкою генетичного коду. Крім усього іншого, така структура дає логічне пояснення біологічної смерті - замкнута на самій собі спіраль призводить до самознищення об'єкта.
На думку фізиків, багато оптичні закони грунтуються на властивостях листа Мебіуса. Так, наприклад, дзеркальне відображення - це особливий перенесення в часі і людина бачить перед собою свого дзеркального двійника.
Реалізація на практиці
У різних галузях промисловості стрічка Мебіуса застосування знайшла вже давно. Великий винахідник Нікола Тесла на початку століття винайшов резистор Мебіуса, що складається з двох скручених на 1800 провідних поверхонь, який може протистояти потоку електричного струму без створення електромагнітних завад.
На основі досліджень поверхні стрічки Мебіуса і її властивостей було створено безліч пристроїв та приладів. Її форму повторюють при створенні смуги стрічкового конвеєра і фарбувальної стрічки в друкованих пристроях, абразивних ременів для заточування інструментів і автоматичної передачі. Це дозволяє значно збільшити термін їх служби, так як зношування відбувається більш рівномірно.
Не так давно дивні особливості листа Мебіуса дозволили створити пружину, яка, на відміну від звичайних, що спрацьовують в протилежному напрямку, не міняє напрямок спрацьовування. Застосовується вона в стабілізаторі рульового приводу штурвала, забезпечуючи повернення рульового колеса в початкове положення.
Крім того, знак стрічка Мебіуса використовується в різноманітних торгових марках і логотипах. Найвідоміший з них - це міжнародний символ вторинної переробки. Його проставляють на упаковках товарів або придатних для подальшої переробки, або зроблених з перероблених ресурсів.
Джерело творчого натхнення
Стрічка Мебіуса і її властивості лягли в основу творчості багатьох художників, письменників, скульпторів і кінематографістів. Найвідоміший художник, котрий використовував в таких своїх роботах, як «Стрічка Мебіуса II (Червоні мурашки)», «Вершники» і «Вузли», стрічку і її особливості - Мауріц Корнеліс Ешер.
Листи Мебіуса, або, як їх ще називають, поверхні мінімальної енергії, стали джерелом натхнення для математичних художників і скульпторів, наприклад, Брента Коллінза або Макса Білла. Найвідоміший пам'ятник стрічці Мебіуса встановлений біля входу в вашингтонський Музей історії та техніки.
Російські художники також не залишилися осторонь від цієї теми і створили свої роботи. Скульптури «Стрічка Мебіуса» встановлені в Москві і Єкатеринбурзі.
Література і топологія
Незвичайні властивості поверхонь Мебіуса надихнули багатьох письменників на створення фантастичних і сюрреалістичних творів. Петля Мебіуса відіграє важливу роль у романі Р. Желязни «Двері в піску» і служить як засіб переміщення крізь простір і час для головного героя роману «Некроскоп» Б. Ламли.
Фігурує вона і в оповіданнях «Стіна темряви» Артура Кларка, «На стрічці Мебіуса» М. Клифтона і «Лист Мебіус» А. Дж. Дейча. За мотивами останнього режисером Густаво Москера був знята фантастична кінокартина «Мебіус».
Робимо самі, своїми руками!
Якщо вас зацікавила стрічка Мебіуса, як зробити її модель, вам підкаже невелика інструкція:
1. Для виготовлення її моделі потрібні:
- лист звичайного паперу;
- ножиці;
- лінійка.
2. Відрізаємо смугу від аркуша паперу так, щоб її ширина була в 5-6 разів менше довжини.
3. Отриману паперову смужку розкладаємо на рівній поверхні. Один кінець притримуємо рукою, а іншою повертаємо на 1800 так, щоб смуга перекрутилася і виворіт стала лицьовою стороною.
4. Склеюємо кінці перекрученої смуги так, як показано на малюнку.
Стрічка Мебіуса готова.
5. Візьміть ручку або маркер і посередині стрічки почніть малювати доріжку. Якщо ви зробили все правильно, то повернетеся в ту ж точку, звідки почали креслити лінію.
Для того щоб отримати наочне підтвердження того, що стрічка Мебіуса - односторонній об'єкт, олівцем або ручкою спробуйте зафарбувати яку-небудь її бік. Через деякий час ви побачите, що зафарбували її повністю.
